酒の席の冗談だったのに友人が会社を辞めてきた。

司法書士の小林裕樹と申します。

契約は口約束でも成立します。
質問者様は会社の経営者ということですので会社の規模にもよりますが、一般的に従業員を採用する権限はあると思われます。
質問者様が「うちの会社で働かないか？」と提案したのは労働契約の申込みにあたり、相手がこれに応じれば契約書が無くても契約は有効となります。
労働契約が成立した後で取消をすれば慰謝料請求は認められる可能性があります。

ただ、今回の場合はお酒の席での話ということで二つ問題があります。
一つ目は心裡留保といって、今回のように冗談のつもりで言った契約の申込であっても原則は有効であるが、例外として相手方が冗談だと知っていた、もしくは冗談だと知ることができた場合は無効。というものです。（民法第９３条）
冗談で言ったことでも相手がそれを信じている以上は相手の権利を保護する必要があるが、冗談だと分かっている、もしくは普通なら冗談だと分かるはずの相手の権利まで守る必要は無いということです。

二つ目は、意思能力の無い者がした法律行為は無効となるというものです。
今回質問者様が労働契約の提案をしたときに飲酒によって正常な判断ができない程の状態になっていたならば契約の申込は無効と考えられます。

以上のように質問者様が契約の無効を主張することは可能です。
訴訟をした場合は、労働契約の成立について相手方がご友人など証人を呼んで立証を試み、
次に、冗談について相手が冗談だと知っていた、または知ることができたということか、質問者様が飲酒によって正常な判断力を欠いていたということを質問者様の側で立証、つまり証拠によって明確にしていくという流れになるかと思います。

今回のケースは
＞その場も冗談の雰囲気で場も和み、
ということから相手方も冗談だと分かって聞いていたように思えますし、数週間経って前の職場を辞めてから連絡をしてくるというところも相手方に非があると思います。

私の意見としては、綺麗に片を付けるためには質問者様も弁護士に代理人となってもらい、相手方との交渉を任せるべきです。
弁護士を依頼してもおそらく上記のように訴訟をして言った言わないの争いをすることにはならないと思います。
適度なところで和解することになると思いますが、ご自身で相手と感情的になって争うよりも質問者様にも相手にも心理的、時間的な負担は少ないと思います。