3月まで学生で給料が入ったのが5月で10月から社会保険にはいったのですが、2重で払うのですか？

社会保険労務士の大庭真一郎と申します。

結論から先に申し上げますと、国民年金保険料・国民健康保険料と社会保険料が二重払いになることはありません。

以下に、3月に卒業し、その後就職して、10月から社会保険に加入することになった場合の保険料の取り扱いを具体的に説明します。

まず年金に関してですが、20歳になった時から毎月国民年金保険料を支払う義務が発生しますが、収入が一定額以下の学生に関しては、収入が一定額以下である状態が継続する間は、保険料の支払いが猶予されます。
猶予というのは「所定期限までに支払わなくてもよいが、卒業後に経済的に余裕ができたときに支払ってください」という意味であり、所定期限から一定の期間内に支払えば、将来の年金額は減額されずに済みます。

卒業した後は、保険料支払いの猶予が適用されなくなるため、自分から役所に申告して毎月の保険料を支払う必要があります。
その後、就職した会社を通じて社会保険に加入することになった場合は、加入月から国民年金保険料の納付義務がなくなります。
自分から手続きを行わなくても、自動的にそのような取り扱いになります。

健康保険に関しては、年金のような保険料の納付を猶予してくれるような制度がないので、相談者が、学生時代に親の扶養ではなく自分自身で健康保険に加入していた場合は、毎月市町村の国民健康保険の保険料を納付していたと思われますが、これに関しても、会社が社会保険に加入した段階で、自動的に毎月の保険料の納付義務がなくなります。

参考にしてください。