遠方にある遠い親戚のお墓の維持費を負担する必要がありますか？

行政書士の筌場と申します。
お墓の相続に関するご相談とのことですので回答させて頂きます。

まず、お墓は「祭祀財産」と言って祖先を祭る用に供されるものであるため、承継の方法が金銭や不動産といった他の財産とは異なります。
民法８９７条において祭祀財産は、慣習に従って選ばれた祖先の祭祀を主宰すべき者が単独で承継する旨が規定されています。
慣習が存在しない場合においては祭祀財産の承継者を家庭裁判所に選任してもらうことが可能です。
その他にも遺言により祭祀財産の承継者を指定することが可能です。

祭祀財産の承継者になった場合、お墓を管理しなければならない法的義務が課されると思われるかもしれませんが、祭祀財産の承継者にはお墓の管理をする法的義務はありません。
祭祀財産の承継者には「お墓の処分を行う権利」があります。
また、被相続人の遺骨は祭祀財産の承継者に帰属します。
したがって、祭祀財産の承継者は被相続人の遺骨を保管する場所、すなわちお墓の場所を移動させることができます。
永大供養を希望されているとのことですので、ご親族への相談は必要となりますが、お墓の場所を移すことを検討されてみてはいかがでしょうか？

お墓の場所を移動（改葬と言います）させようとする場合には「墓地・埋葬等に関する法律」の第5条に基づく市町村長の許可を受けてこれを行う必要があります。
改葬許可の申請は、現在お墓がある市町村の長に対して行います。
市町村ごとに申請書の様式が定められているため、市町村のホームページを参照されるか若しくは市町村役場にお問い合わせをされてみると良いと思います。

市町村長より許可が下りると「改葬許可証」が交付されますので、これを改葬先の墓地又は納骨堂の管理者に渡した後に遺骨を納骨されて下さい。
尚、改葬許可申請には、お墓の管理者による証明及びお墓の使用者（名義人）による承諾が必要となります。
そのため、お墓の名義人の方が亡くなっている場合、改葬許可申請に先立って名義人を変更する必要があります。

お墓の名義人を変更するためには、お墓がある市町村の長に対して「墓地使用者変更届」を提出しなければなりません。
更に、届出書と併せて「家系図・新しい使用者の本籍が記載された住民票・墓地使用許可証・旧使用者の戸籍謄本」等の添付書類も提出する必要があります。

ケースごとに必要となる書類は異なるため、お墓の名義変更をする際は、市町村役場にお問い合わせをされてみると良いと思います。
ご親族の方とよく話し合った上でどのようにされるか決めてみて下さい。