私とお客様が不倫をしていると常連客の一人から嘘の噂を流されて大変困っています。

はじめまして、ファイナンシャルプランナーの西岡と申します。

私は弁護士ではありませんので、具体的な法律相談はできませんが相談内容を見る限り完全に名誉毀損に該当すると思います。
一度弁護士の方に相談へ行かれると良いです。
最終的に訴訟を起こす場合に、その当人が噂を流したという事実を求められるかもしれませんので事前に証拠などを押さえたり、周りの証言やあなたが不倫していないという事実確認など色々準備が必要になります。
弁護士との打ち合わせで具体的にどのようにしていくかを決定していくと思いますが、良くして下さっているお客様や店長などに話して協力者をなるべく増やしていきましょう。

単純に「名誉毀損で訴える」ということで相談者様の不安材料はほぼなくなると思います。
慰謝料などのお金の話はおいといて、噂がこれ以上広まるということは無くなりますし、現在その噂がどこまで広がっているのかという不安についても、その噂を耳にした人達には必ず「貴方がありもしない噂を立てられて訴訟を起こした」という事実が広がります。

噂というのは、必ず繋がりのある者同士で広がっていきます。
1人が噂を立てるとその周りの人の耳に入り、次はその人達の周りの人たち、という風にしか広がっていきません。
ということは最初に噂を立てた人が訴えられたとなると、当然その人の周りの人はその事実を知るわけですので、ほぼ同じ経路で事実が伝えられていきます。
ましてやその噂を聞いて興味津々な人ほど、その後どうなったんだろうと今後の進展を気にしていますので、貴方と関わりの深い人ほど早く事実が伝わっていきます。
ネット上の噂でも同じです。ネットで広まった噂は進展があると同じくネットから広まっていきます。

今後注意をしてもどうしても改善されない場合は弁護士に相談されることをお勧めいたします。