家に太陽光パネルをつける為にローンを組みたい

太陽光パネルをご検討とのことで、長い目で考えるなら節約、エコの観点からも良いお考えだと思います。そのいっぽう所要資金でお悩みのご様子、心中お察しします。
まず文中にある内容をいくつかに分けて状況をご説明し、最後に私なりのアドバイスを申し上げようと思います。

『クレジットカードが利用可能額70万に達してしまったため、限度額は30万に下げられカードをとめられました』
⇒利用可能額に達しただけで限度額が引き下げられて、かつカードをとめられるというのは厳しすぎる対応のようにも感じました。こちらはカードの支払を延滞したことが原因なのでしょうか？もし延滞ですと、リフォームローン審査にはマイナス影響と考えます。

『その他銀行で60万のキャッシングローンがありますが、毎月14,000円ずつ延滞無しで返済しています』
⇒こちらの記載内容と同じくクレジットカードも支払が延滞していないという前提で考えていきたいと思います。

ご質問）そういった状況でも太陽光パネルのローンを組む事はできますか？
回答）無理と断言する状況には無く、全ては申込先次第だと思います。

回答の理由）
①延滞について：延滞歴が無ければリフォームローン審査を大きく阻害することにはならないと考えます。
②現在の借入残額について：審査は全体の借入残高と収入のバランスを、今度借りるリフォームローンも含めて検討します。質問者様の年収、勤続年数などの情報が無いので審査の見通しをお答えすることはできない点はご了承下さい。
③カードが止められたことについて：延滞が無いという前提のお話しですが、カードの限度額を下げられ止められた事実が、あくまでそのカード独自の決まりでネガティブな内容では無ければ問題は無いと思われますが、必要に応じてリフォームローンを申込む前に、ご自身の個人信用情報を確認されたほうが良いかもしれません。

結論として、ご質問にある内容だけで考えると「ローンを組むことができます。借りることができます」と断言することはできませんが、かといって申込みしても全くダメですとまでは言えないということになります。
また、単に審査が緩いからといったことだけでは無く、ローンを借りて返していくことも考えたうえで、
まずはネットやパンフレットなどで複数のリフォームローンを比較検討して、自分に一番あったものを選ぶことをおすすめします。