身に覚えのない借金を返し続けていくしかないのでしょうか？

現役銀行員の加藤です。
ご相談者様にとっては身に覚えの無い借金のお悩み、心中お察しします。少しでも参考になればと思い金融業の銀行、つまりお金を貸す立場から、ご質問に沿ってご回答いたします。
回答していく前に、裁判所からの通知がどのような内容か詳しい記載が無いので詳細な回答はできない点をあらかじめご了承ください。

①「詐欺で身に覚えがないから無視していいと言っていたので、届くたびに捨てていたんです」「もしかしたら免許証を抜き取られて借りられてしまったかもしれないとのことでした」

回答）ご質問のとおりであれば、これは犯罪行為に該当する可能性があります。銀行であれば、本人確認を厳正にしますのでこのような不正手段で申込まれて融資することは絶対にあり得ません。
「その金融会社は本人確認がいい加減な会社で、割と誰でも貸していたところだったとのこと」とありますが、これが事実でまた金融会社も不正な申込みであることを承知のうえで融資していたとしたら、その事実関係を明らかにして警察に相談すべきだと思います。

②「催告書で、具体的な金額や、裁判で払うよう判決が出たけど払われていないので連絡を下さいとの内容」「調べたところ、本当にある会社です」

回答）これが債権回収会社からの催告書であれば、そこに記載されている「裁判ではらうよう判決が出た」内容を確認なさったほうが良いと思います。裁判が行なわれたということは、それ以前にご主人様宛にも裁判すること、出席（出頭）を依頼する文書が届いていたと思われます。
仮にそう言った文書が届いて、中を見ずに捨てていたとしても届いたことで本人には通知したことになる場合があります。
本当に裁判が行なわれて、借金を払うといった判決が出ているなら裁判所、あるいは無料相談された弁護士さんに依頼して調べてもらってはいかがでしょうか？

③「そして、もう裁判で判決が出ている限り、主人に支払う義務があるとのことでした。」「このまま裁判所の決定通り返していくしかないのでしょうか？」

回答）資格のある弁護士さんに相談し、今回の相談内容をすべて伝えたうえでの弁護士回答であると仮定してお答えすると、弁護士が決定通り返していくしかないと言うのであれば、残念ながらその通りだと思います。
ただしご質問内容から考察しますと、弁護士にはすべての事情をお話しされたのでしょうか？無料相談ですと、時間や回答内容にも限界があると思われます。借金の額にもよりますが、料金を確認したうえで弁護士さんに正式に相談されることをおすすめします。
そして、ご相談のとおり不正な手段でご主人が身に覚えのない借金を背負わされたなら、そうした「犯人」がいると思われますので、最終的には警察に相談することがベターだと思われます。

また、これは大変酷な答えになるかも知れませんが、ご相談者様のことを思いあえて申し上げます。
銀行員として、似たような相談事「夫が身に覚えのない借金を背負わされた」を受けたことがございますが、話しを聞いていくうちに実はご主人が借金したことを隠していたという例もありました。
ご相談者様のご主人様がそうだ、と言うのではございません。大事なことは、専門家や警察などに相談する際にはご夫婦で向き合い、しっかりと事実関係を確認したうえで対処していくべきだと申し上げたいのです。
いずれにせよ、一日でも早く解決に向かうことを願っております。