浮気した旦那と別居中なのですが、生活費を請求されています

弁護士の神尾です。
一つ一つ見ていきましょう。

・生活費（婚姻費用）について
確かに夫婦間には互いに生活を支え合う義務はあります。ただ、その具体的な内容は直ちに確定しません。
つまり、現時点で何らの約束（ＬＩＮＥやメール上のものでも約束に当たる場合があります）や調停等がないのであれば、いくら払うかといったことは確定していないことになります。

そこで、払う義務がないとお考えであれば支払わない、夫に調停等を起こしてもらうといったことが考えられます。
なお、調停等の場であっても、実際にこちらに支払う義務があるのかは何ともいえないところです（今後の再就職等の状況や見込み等もみていく必要があります）。
したがいまして、実際に調停申立書等が届きましたら、弁護士にご相談されるのがよろしいかと思います。

・慰謝料について
こちらはさらに事情を聴いてみないと何ともいえないところではあります。
浮気の証拠の固さ、その長さ、浮気の中身、婚姻期間の長さ、お子さんの有無、夫の支払能力等で変わってきます。
婚姻費用を争う中でこちらから離婚調停を起こしていくことが考えられますが、その調停の中で慰謝料も請求していくことになるでしょう。
なお、家賃のことなども整理していく必要がありそうです。こうしたことも調停の中で話し合っていくことだろうと思われます。

とりあえず、いただいた情報のみから最大限考えていくと以上のようなことになります。
結論としては、婚姻費用の調停等を起こされる前であっても一度相談しておいた方が無難なのではないかと思います。